математическая логика

        ЛОГИКА СИМВОЛИЧЕСКАЯ, математическая логика, теоретическая логика — область логики, в которой логические выводы исследуются посредством логических исчислений на основе строгого символического языка. Термин «Л. с.» был, по-видимому, впервые применен Дж. Венном в 1880.

        Уже Аристотель широко применял буквенные обозначения для переменных в своих логических работах. Идея построения универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математических доказательств, и вообще, любых рассуждений, выдвигалась в 17 в. Г. Лейбницем. Однако только к середине 19 в. стало очевидным, что существующая логическая парадигма, а именно аристотелевская силлогистика, уже не отвечает требованиям развития современной науки.

        С работ Дж. Буля 1847 и 1854 начался новый этап развития логики под названием «алгебра логики». С др. стороны, возникновение и развитие Л. с. связано с работами Г. Фреге, который впервые в 1879 представил свод логических законов в виде исчисления. Кроме того, для логики предикатов Фреге дает строгое определение понятия «доказательства», которое является общепринятым и по сей день.

        Основы современной логической символики были разработаны итал. математиком Дж. Пеано, чьи интересы, как и интересы Фреге, концентрировались вокруг оснований математики и развития формально-логического языка. Логическая запись Пеано была принята, хотя и частично модифицирована, А.Н. Уайтхедом и Б. Расселом в их знаменитой трехтомной «Principia Mathematica» (1910—1913), а затем одобрена и Д. Гильбертом.

        Создание логического языка и с его помощью таких объектов, как логические исчисления, строго формализующие различные теории в виде некоторого конечного списка аксиом и правил вывода, означало, что в науке 19 в. возникла потребность в Л. с. В первую очередь, развитие Л. с. было вызвано потребностями математики, ставившей проблемы, для решения которых средства традиционной логики были непригодны. Одной из таких проблем была недоказуемость 5-го постулата Евклида в геометрии. Только с развитием Л. с. появился аппарат, позволяющий решать проблему логической независимости аксиом данной теории. Суть проблемы состоит в установлении того, что некоторая аксиома теории не доказуема из остальных.

        Основным стимулом развития Л. с. в начале 20 в. была проблема оснований математики, особенно после того, как в теории множеств были обнаружены различные парадоксы. Ответом на парадоксы стало возникновение четырех направлений в основаниях математики: логицизма, интуиционизма, формализма (программа Гильберта) и теретико-множественного платонизма в виде аксиоматической теории множеств ZF. В каждом из этих случаев потребовалось развитие и применение технического аппарата Л. с. В первую очередь, это относится к программе Гильберта (начиная с 1904 ), где была поставлена главная задача: найти строгое основание для математики посредством доказательства ее непротиворечивости. Для этого потребовалось развить теорию доказательств (см. Доказательств теория).

        Однако вывод К. Геделя о неполноте арифметики — сделанный в 1931 и утверждающий, что если теория S, содержащая арифметику, непротиворечива, то доказательство непротиворечивости теории не может быть проведено средствами самой теории S — убедительно показал, что программа Гильберта невыполнима. Обширным полем деятельности для современной Л. с. является теория рекурсии, которая, в первую очередь, имеет дело с проблемой разрешимости: доказуема или нет формула А из некоторого множества посылок. Эти исследования привели к теориям вычислимости, к созданию компьютерных программ автоматического поиска доказательств. Решение проблемы разрешимости (см. Разрешения проблема) явилось основным стимулом для создания теории алгорифмов. Только после уточнения понятия алгорифма выяснилось, что в хорошо известных разделах математики существуют алгоритмически неразрешимые проблемы (А.А. Марков, Э. Пост, П.С. Новиков).

        И, наконец, важное место в современной Л. с. занимает теория моделей (см. Моделей теория), которая изучает модели формальных теорий, соотношения между моделями и теориями и преобразования моделей.

        Развитие современной логики показывает, что терм и н «Л. с.» гораздо шире термина «Математическая логик а», г д е изучаются только те типы рассуждений, которыми пользуются математики. Символизация и представление различных логических теорий в виде исчислений стало обычным делом, и поэтому строго разделить современные логические исследования на относящиеся к Л. с. и не относящиеся к ней порой просто невозможно.

        Л. с. является рефлексивной наукой. Это означает, что она применяет свои методы и логические средства для анализа и понимания своей собственной структуры. В первую очередь, это результаты Геделя о неполноте. Оказалось, что неполнота арифметики принципиальна, т.е. подобные теории нельзя пополнить, чтобы доказать их непротиворечивость. Итог этой рефлексии имеет далеко идущие последствия, ибо встает вопрос о самом статусе математики: не основывается ли она на глубоко скрытых противоречиях? Кроме того, в настоящее время идет оживленная дискуссия, вызванная результатом Геделя. Многие ученые, в том числе и с мировым именем (Пенроуз Р. Тени разума. В поисках науки о сознании. М.— Ижевск, 2003), пришли к выводу, что деятельность человеческого разума является невычислимым процессом, и поэтому моделирование его на компьютерном устройстве в принципе невозможно.

        Рефлексия чистой логики над собой достигла к концу 20 в. критической точки и поставила вопрос о статусе уже самой логики, о том, что такое логика. Дело в том, что, в отличие от математики, рефлексия чистой логики континуально размножилась. Сейчас мы имеем континуумы различных классов логик. О единстве Л. с. не может быть и речи — столь удивительными и неожиданными свойствами и моделями обладают некоторые представители неклассических логик. Встает вопрос об иерархии, о взаимоотношениях и классификации всех эти логик. В 1936 создана Международная Ассоциация Символической Логики. В том же году начал издаваться самый известный журнал по логике: «The Journal of Symbolic Logic».

        А. С. Карпенко

        Лит.: Гильберт Д., Аккерман В. О сновы теоретической логики. М., 1947; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. М., 1979; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Теория доказательств. М., 1 9 8 2; Ершов ЮЛ., Палютин Е.А. Математическая логика М., 1979; КарриХ.Б. Основания математической логики. М., 1969; Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957; Клини С.К. Математическая логика. М., 1973; Колмогоров А.Н., Драгалин А.Г. Математическая логика. М., 2004; Марков А.А. Элементы математической логики. М., 1984; Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1984 (3-е изд.); Новиков П.С. Элементы математической логики. М., 1973; Справочная книга по математической логике. Т. 1 — 4. М., 1982—1983; Copi I.M. Symbolic Logic. Prentice Hall, 1979 (5th ed.); From Frege to Godel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879 — 1931. Cambridge, 1967; Klerk V. Understanding Symbolic Logic. Prentice Hall, 1994; П-Bibliography of Mathematical Logic. Vols. I—VI. В., 1987.